Rótroknireglurk
Røtur eru tað øvugta av potensum. Til dømis kunnu vit siga:
\[\sqrt{9}=3 \quad \text{tí} \quad 3^2=9\]
\[\sqrt[3]{125}=5 \quad \text{tí} \quad 5^3=125\]
Kvadratrót
Av tí at kvadratrótin av \(9\) er \(3\), og \(3^2=9\), kunnu vit skriva:
\[\left(\sqrt{9}\right)^2=9\]
Vanliga hava vit:
\[\left(\sqrt{a}\right)^2=a, \quad a>0\]
Á henda hátt kunnu vit siga, at at taka kvadratrót og at lyfta upp í øðrum potensi er tað øvugta av hvørjum øðrum.
Um vit minnast potensreglurnar, síggja vit at:
\[\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 9^{\frac{1}{2}\cdot 2}=9^1=9\]
Nú hava vit, at bæði \(9^{\frac{1}{2}}\) og \(\sqrt{9}\) geva \(9\), tá vit lyfta upp í øðrum. Tí mugu tey vera eins:
\[\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}\]
Vanliga hava vit:
\[\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, \quad a>0\]
Tá kvadratrót kann skrivast sum ein potensur, merkir tað, at allar potensreglur eisini galda fyri kvadratrøtur.
Aðrar røtur
Tá vit finna kvadratrótina av einum tali \(a\), finna vit eitt tal, sum falda við sær sjálvum gevur \(a\). Hetta kann útbyggjast.
Triðjarótin, \(k\), av \(a\) er tað talið, sum faldað við seg sjálvum tvær ferðir gevur \(a\):
\[k\cdot k\cdot k=a\]
Fjórðarótin av \(a\) er tað talið, sum faldað við sær sjálvum tríggjar ferðir gevur \(a\), o.s.fr.
Tá vit skulu finna triðjurót av \(a\), skriva vit \(\sqrt[3]{a}\), og tá vit skulu finna fjórðuót, skriva vit \(\sqrt[4]{a}\). Vit skriva ikki \(2\) yvir róttekninum, tá talan er um kvadratrót.
\[\sqrt[3]{8}=2 \quad \text{tí} \quad 2^3=8\]
\[\sqrt[4]{81}=3 \quad \text{tí} \quad 3^4=81\]
Líkasum kvadratrót kann skrivast sum potensur, kunnu allar aðrar røtur eisini skrivast sum potensar:
\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]
Legg til merkis, at tá allar røtur kunnu skrivast sum potensar, galda potensreglurnar fyri allar røtur.
Rót av einum potensi
Um vit taka \(n\)’tu rótina av \(a^n\), fáa vit sjálvandi \(a\):
\[\sqrt[n]{a^n} = (a^n)^{\frac{1}{n}} = a^{n\cdot \frac{1}{n}} = a^1 = a\]
Men hvat um rót og eksponentur eru ymisk?
\[\sqrt[3]{4^2}=?\]
Vit umskriva bara rótina til ein potens:
\[\sqrt[3]{4^2}=(4^2)^{\frac{1}{3}} = 4^{2\cdot \frac{1}{3}} = 4^{\frac{2}{3}}\]
Tað gevur okkum regluna:
\[\sqrt[q]{a^p}=a^{\frac{p}{q}}\]
Roknireglur fyri røtur
Vit umskriva nakrar av potensreglunum, so tær eisini kunnu brúkast við rótum:
\[\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\]
\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]
\[a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}\]