Kapitalframskriving

Innleiðing

Á undanfarnu síðuni lærdu vit rentufrymilin \(K = K_0 \cdot (1 + r)^n\), sum roknar endakapitalin \(K\) tá ið \(K_0\), \(r\) og \(n\) eru kend. Tíðum stendur ein tó í støðuni: Hvussu nógv skal eg leggja til seta inn sum byrjanarkapital, fyri at røkka einum ávísum endakapitali? Ella hvørja rentu skal eg noyðist eg at krevja, fyri at røkka endakapitalinum, givið byrjanarkapitalin? Við at isolera hvørt virði fyri seg í rentufrymlinum fáa vit ein frymil fyri hvønn av spurningunum omanfyri,

Frymlarnir

Hesir fýra frymlarnir útleiðast beinleiðis úr rentufrymlinum:

Virði	Frymil
\(K\)	\(K = K_0 \cdot (1 + r)^n\)
\(K_0\)	\(K_0 = \dfrac{K}{(1 + r)^n}\)
\(r\)	\(r = \left(\dfrac{K}{K_0}\right)^{\!1/n} - 1\)
\(n\)	\(n = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{K}{K_0}\right)}{\ln(1 + r)}\)

Isolera \(K_0\)

Vit byrja við rentufrymlinum og býta við \((1 + r)^n\) á báðum síðum:

\[ \begin{align*} K &= K_0 \cdot (1 + r)^n \\[6pt] \frac{K}{(1 + r)^n} &= K_0 \\[6pt] K_0 &= \frac{K}{(1 + r)^n} \end{align*} \]

Isolera \(r\)

Vit býta síðurnar við \(K_0\), taka \(n\)-tu rótina og draga 1 frá:

\[ \begin{align*} K &= K_0 \cdot (1 + r)^n \\[6pt] \frac{K}{K_0} &= (1 + r)^n \\[6pt] \left(\frac{K}{K_0}\right)^{\!1/n} &= 1 + r \\[6pt] r &= \left(\frac{K}{K_0}\right)^{\!1/n} - 1 \end{align*} \]

Isolera \(n\)

Vit taka náttúrligu logaritmuna av báðum síðum og nýta at \(\ln(a^n) = n \ln(a)\): (G.G. Tað er ikki loyvt at taka logaritma av negativum tølum, so vit mugu tryggja okkum, at \(K > 0\), \(K_0 > 0\) og \(r > -1\). Umframt hetta er tað ikki umráðandi júst hvørja logaritmu vit nýta, so leingi sum vit nýta somu logaritmu á báðum síðum.)

\[ \begin{align*} K &= K_0 \cdot (1 + r)^n \\[6pt] \frac{K}{K_0} &= (1 + r)^n \\[6pt] \ln\!\left(\frac{K}{K_0}\right) &= n \cdot \ln(1 + r) \\[6pt] n &= \frac{\ln\!\left(\dfrac{K}{K_0}\right)}{\ln(1 + r)} \end{align*} \]

Filmur

Royn tað sjálv/ur: Rokna við rentufrymlinum

Vel hvat virði tú vilt rokna, skriva tey trý kendu virðini inn og fá svarið.

viewof unknown = Inputs.select(["K", "K₀", "r", "n"], {label: "Rokna eftir"})
viewof K_in   = Inputs.number({label: "K (kr)",  value: 1629, step: 1, min: 0.01})
viewof K0_in  = Inputs.number({label: "K₀ (kr)", value: 1000, step: 1, min: 0.01})
viewof rPct_in = Inputs.number({label: "r (%)",   value: 5,   step: 0.1})
viewof n_in   = Inputs.number({label: "n (ár)",  value: 10,  step: 1, min: 1})

{
  const hints = {
    "K":  "Skriva K₀, r og n  inn.",
    "K₀": "Skriva K, r og n  inn.",
    "r":  "Skriva K, K₀ og n  inn.",
    "n":  "Skriva K, K₀ og r  inn."
  };
  return md`*${hints[unknown]}*`;
}

{
  const K   = +K_in;
  const K0  = +K0_in;
  const r   = rPct_in / 100;
  const n   = +n_in;

  let result, formulaStr, label, unit;

  if (unknown === "K") {
    result     = K0 * Math.pow(1 + r, n);
    formulaStr = `K = ${K0} · (1 + ${r.toFixed(4)})^${n}`;
    label = "K"; unit = "kr";

  } else if (unknown === "K₀") {
    result     = K / Math.pow(1 + r, n);
    formulaStr = `K₀ = ${K} / (1 + ${r.toFixed(4)})^${n}`;
    label = "K₀"; unit = "kr";

  } else if (unknown === "r") {
    if (K <= 0 || K0 <= 0 || n <= 0)
      return md`Skriva galdandi virðir fyri K, K₀ og n._`;
    result     = (Math.pow(K / K0, 1 / n) - 1) * 100;
    formulaStr = `r = (${K} / ${K0})^(1/${n}) − 1`;
    label = "r"; unit = "%";

  } else {
    if (K <= 0 || K0 <= 0 || r <= 0 || K === K0)
      return md`Skriva galdandi virðir fyri K, K₀ og r (r > 0, K ≠ K₀)._`;
    result     = Math.log(K / K0) / Math.log(1 + r);
    formulaStr = `n = ln(${K} / ${K0}) / ln(${(1 + r).toFixed(4)})`;
    label = "n"; unit = "ár";
  }

  return md`**${formulaStr}**
**${label} ≈ ${result.toFixed(2)} ${unit}**`;
}