Potensar av brotum og negativar eksponentar

Potensur av einum brotið

Um vit hava potens av einum brotið, til dømis:

\[\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}\]

Um vit falda brotini saman fáa vit:

\[\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2^3}{5^3}\]

Tvs vit bara flyta eksponentin inn á teljara og nevnara:

\[\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3}\]

Sum gevur okkum potensrokniregluna fyri potensur av einum brotí:

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

har \(b \neq 0\).

Nú hava vit víst hvussu positivir potensar rigga, men hvussu so um vit hava ein potens við negativum eksponenti. Vit byrja við einum dømi:

\[\frac{4^2}{4^6}\]

Fyrst umrokna vit til ein potens:

\[\frac{4^2}{4^6} = 4^{2-6} = 4^{-4}\]

Men hetta kunnu vit jú eisini rokna sum:

\[\frac{4^2}{4^6} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{4^4}\]

Hetta vísir okkum so:

\[4^{-4} = \frac{1}{4^4}\]

Generelt kunnu vit so skriva at:

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

har \(a \neq 0\). Eitt umráðandi dømi, ið er gott at minnast er at:

\[a^{-1} = \frac{1}{a}\]

har \(a \neq 0\).