Annuitetsuppsparing setningur

Innleiðing

Annuitetsuppsparing er, tá ið tú leggur sama gjald \(y\) inn á eina uppsparing hvønn termin, og rentan \(r\) verður løgd afturat fyri hvønn termin. Spurningurin er, hvussu stórur samlaði kapitalurin \(A\) er, tá ið allir \(n\) terminarnir eru farnir um bak.

Setningur

Framtíðarvirðið - tað er samlaði kapitalurin eftir \(n\) terminar - er:

\[ A = y \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}. \]

Her er \(y\) terminsgjaldið, \(r\) rentan um termin (sum desimaltal) og \(n\) talið av terminum. Prógvið finnur tú á Annuitetsuppsparing prógv.

Umskriving

Skulu vit finna, hvussu stórt gjaldið \(y\) má vera fyri at náa einum ávísum kapitali \(A\), loysa vit fyri \(y\):

\[ y = \frac{A \cdot r}{(1+r)^n - 1}. \]

Og skulu vit finna, hvussu mangar terminar \(n\) tað tekur, loysa vit fyri \(n\):

\[ n = \frac{\log\!\left(\dfrac{A \cdot r}{y} + 1\right)}{\log(1+r)}. \]

Dømi

Tú leggur \(1\,000\) kr inn hvønn mánað í \(10\) ár. Árliga rentan er \(5\,\%\), so mánaðarliga rentan er \(r = 0{,}05/12 \approx 0{,}004167\), og \(n = 10 \cdot 12 = 120\) terminar.

\[ A = 1\,000 \cdot \frac{(1{,}004167)^{120} - 1}{0{,}004167} \approx 155\,280 \text{ kr}. \]

Tú hevur sjálvur lagt \(1\,000 \cdot 120 = 120\,000\) kr inn; munurin, umleið \(35\,280\) kr, er rentan, sum uppsparingin hevur kastað av sær.

Filmur

Royn tað sjálv/ur: vøkstur av uppsparing

Drag og síggj, hvussu samlaði kapitalurin veksur - og hvussu rentuvinningurin økir um tað, tú sjálv(ur) hevur sett inn.

viewof spar_y = Inputs.range([1000, 100000], {value: 10000, step: 1000, label: "Árligt gjald y (kr)"})
viewof spar_rPct = Inputs.range([0.5, 12], {value: 5, step: 0.1, label: "Árlig renta r (%)"})
viewof spar_n = Inputs.range([1, 40], {value: 20, step: 1, label: "Tal av árum n"})

spar = {
  const y = +spar_y, r = spar_rPct / 100, n = +spar_n;
  const rows = [];
  for (let t = 1; t <= n; t++) {
    const A_t = y * (Math.pow(1 + r, t) - 1) / r;
    const innlatid = y * t;
    rows.push({ar: t, innlatid, rentuvinningur: A_t - innlatid});
  }
  const A = y * (Math.pow(1 + r, n) - 1) / r;
  return {y, r, n, rows, A, innlatidTotal: y * n};
}

md`**Samlaður kapitalur:** A ≈ **${spar.A.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr**. <br>
Tú hevur sjálv(ur) lagt ${spar.innlatidTotal.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr inn; **${(spar.A - spar.innlatidTotal).toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr** er rentuvinningur.`

Plot.plot({
  marks: [
    Plot.areaY(spar.rows.flatMap(d => [
      {ar: d.ar, slag: "Innlatið", upphædd: d.innlatid},
      {ar: d.ar, slag: "Rentuvinningur", upphædd: d.rentuvinningur}
    ]), {x: "ar", y: "upphædd", fill: "slag"}),
    Plot.ruleY([0])
  ],
  color: {legend: true, domain: ["Innlatið", "Rentuvinningur"], range: ["#5B8FF9", "#1D9E75"]},
  x: {label: "Ár"},
  y: {label: "Kapitalur (kr)", tickFormat: d => (d / 1000) + "k"},
  width: 640, height: 330, marginLeft: 75, marginTop: 30
})