Dømi: Spælikort (Poker)

Filmur

Dømi

Nú koma báðir partarnir av evninum saman. Vit hava eitt symmetriskt líkindaøki, har vit brúka kombinatorikkin til at telja bæði úrslitini í alt og úrslitini í hendingini.

Vit fáa fimm kort úr einum vanligum kortspæli við 52 kortum.

Hvat er sannlíkindini fyri, at í minsta lagi eitt av kortunum eru eini ess?

Úrslitamongdin

Fyrst skulu vit vita, hvussu nógvar ymiskar hendur eru til. Ein hond er fimm kort - vit velja \(r = 5\) av \(n = 52\) kortum, hvørt kort kann bert koma eina ferð, og raðfylgjan hevur ongan týdning. Tað er stakroynd uttan afturlegging, har raðfylgjan ikki hevur týdning:

\[\binom{52}{5} = \frac{52!}{5!\,47!} = 2\,598\,960\]

Tað eru meira enn tvær og ein hálv millión ymiskar hendur. Her sæst greitt, hví vit ikki longur kunnu telja við at seta allar hendingarnar upp.

Allar hendur eru líka sannlíkar, so hetta er eitt symmetriskt líkindaøki við \(n = 2\,598\,960\) úrslitum.

Hví vit hyggja at komplementeru hendingini

Lat

\[A = \text{"í minsta lagi eitt ess"}\]

Vit kundu roynt at telja hendurnar í \(A\) beinleiðis, men tá máttu vit telja hendur við einum essi, hendur við tveimum essum, hendur við trimum og hendur við fýra - og passa væl uppá, at eingin hond varð tald tvær ferðir. Tað er ein long og vandamikil útrokning.

Komplementera hendingin er nógv einfaldari:

\[\bar{A} = \text{"einki ess"}\]

Har er bert ein møguleiki at hugsa um. Og vit hava longu regluna, sum bindir tær saman:

\[P(A) = 1 - P(\bar{A})\]

Hetta er ein góður vani: sigur uppgávan “í minsta lagi”, er tað ofta lættari at telja tað, sum ikki hendir.

Hendir uttan ess

Í bunkanum eru fýra ess, og tí eru \(52 - 4 = 48\) kort, sum ikki eru ess. Ein hond uttan ess er ein hond, har øll fimm kortini eru vald úr hesum 48 kortunum:

\[\binom{48}{5} = \frac{48!}{5!\,43!} = 1\,712\,304\]

Sannlíkindini

Sannlíkindini fyri einari hond uttan ess er

\[P(\bar{A}) = \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} = \frac{1\,712\,304}{2\,598\,960} \approx 0{,}659\]

og tí er

\[P(A) = 1 - P(\bar{A}) = \frac{\binom{52}{5} - \binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} = \frac{2\,598\,960 - 1\,712\,304}{2\,598\,960} = \frac{886\,656}{2\,598\,960} \approx 0{,}341\]

Sannlíkindini fyri í minsta lagi einum essi er umleið \(34{,}1\%\) - við øðrum orðum fæst eitt ess ella fleiri í umleið triðjuhvørjari hond.

Hvat brúktu vit

Henda uppgávan er lítil, men hon nýtir næstan alt evnið:

• Symmetriskt líkindaøki - allar hendur eru eins sannlíkar, so \(P(A) = \frac{k}{n}\).
• Kombinatiónir - \(\binom{52}{5}\) og \(\binom{48}{5}\) telja fyri okkum, tí vit kunnu ikki seta upp.
• Komplementera hendingin - \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\) gjørdi eina torføra teljing til eina lætta.

Tað er hetta samspælið, sum ger líkindarokningina sterka: teljingin gevur tølini, og roknireglurnar gera, at vit sleppa undan at telja meira enn neyðugt.