Effektiv renta

Innleiðing

Tá ið ein banki lýsir við einari árligari rentu á 4%, noyðist ein at halda fyri eyga hvussu ofta hendan rentan verður tilskrivað. Hetta hevur stóran týdning: roknast rentan fýra ferðir um árið, veksur inngjaldið meira enn tá rentan verður rokna eina ferð um árið. Hetta skyldast at rentan av hvørjum termini legst afturat grundarlagnum fyri næsta termin - altso renturenta.

Vit skilja millum:

• Nomiella rentu \(r\): tann árligi prosent-satsurin.
• Effektiva rentu \(r_e\): tann veruligi árligi kostnaðurin, tá terminstíðirnar verða tiknar við.

Dømi

Nomiell renta \(r = 4\%\), \(n = 4\) terminar um árið (1% hvønn termin).

Vit samanbera tveir møguleikar fyri ein byrjanarkapital \(K_0\):

	Útrokning	Vøkstur eftir 1 ár
Einaferð um árið (\(n = 1\))	\(K_0 \cdot (1{,}04)^1\)	\(4{,}0000\%\)
Fýra ferðir um árið (\(n = 4\))	\(K_0 \cdot (1{,}01)^4 = K_0 \cdot 1{,}04060401\)	\(4{,}0604\%\)

Munurin - 0,0604 prosentstig - kemur av tí, at rentan av hvørjum termini sjálv veksur í næsta termini. Effektiva rentan er \(r_e \approx 4{,}06\%\), ikki 4%.

Frymilin fyri effektiva rentu

Vanliga, við \(n\) terminum um árið við nomiellari rentu \(r\):

\[ r_e = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n - 1 \]

Her er:

• \(r\) er nomiella árliga rentan (sum desimaltal)
• \(n\) er talið av terminum um árið
• \(r_e\) er effektiva rentan

Við \(r = 0{,}04\) og \(n = 4\):

\[ r_e = \left(1 + \frac{0{,}04}{4}\right)^4 - 1 = (1{,}01)^4 - 1 = 1{,}04060401 - 1 \approx 4{,}06\% \]

Markvirði: \(n \to \infty\)

Tá termintíðnin veksur ímóti óendaligt, \(\infty\) - t.v.s. at rentan verður løgd aftur allatíðina, í einhvørjari stund - gerst markvirðið:

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n = e^r \]

so effektiva rentan nærkast:

\[ r_e \xrightarrow{\;n \to \infty\;} e^r - 1 \]

Fyri \(r = 4\%\): \(r_e \to e^{0{,}04} - 1 \approx 4{,}08\%\).

Filmur

Royn tað sjálv/ur: effektiv renta

Vel nomiellu rentuna og síggj hvussu effektiva rentan veksur við termintíðnini.

viewof rNomPct = Inputs.range([0.5, 20], {value: 4, step: 0.5, label: "Nomiella rentan r (%)"})

renta = {
  const r = rNomPct / 100;
  const rLimit = (Math.exp(r) - 1) * 100;

  const periods = [
    {n: 1,   name: "1 × um árið (árlig)"},
    {n: 2,   name: "2 × um árið (hálvárlig)"},
    {n: 4,   name: "4 × um árið (ársfjórðing)"},
    {n: 12,  name: "12 × um árið (mánaðarliga)"},
    {n: 52,  name: "52 × um árið (vikuliga)"},
    {n: 365, name: "365 × um árið (dagliga)"},
  ].map(d => ({...d, re: (Math.pow(1 + r / d.n, d.n) - 1) * 100}));

  const curve = Array.from({length: 365}, (_, i) => ({
    n: i + 1,
    re: (Math.pow(1 + r / (i + 1), i + 1) - 1) * 100
  }));

  return {r, rLimit, periods, curve};
}

{
  const rows = renta.periods
    .map(d => `| ${d.name} | ${d.n} | ${d.re.toFixed(4)}% |`)
    .join("\n");

  return md`
| Terminstíðin | n | Effektiva rentan $r_e$ |
|---|---|---|
${rows}
| $n \\to \\infty$ | ∞ | ${renta.rLimit.toFixed(4)}% |
  `;
}

Veksur ímóti markvirðinum

Jú oftari rentan verður tilskrivað, jú tættari nærkast markvirðnum \(e^r - 1\) - men tað sæst eisini, at broytingin av tí effektivu rentini fellur skjótt jú oftari renta verður tilskrivað: Munurin á tí effektivu rentuni millum árliga og ársfjórðings tilskriving er nógv størri enn munurin millum vikuliga og dagliga tilskriving.

html`<div class="re-plot">${Plot.plot({
  marks: [
    Plot.ruleY([renta.rLimit], {stroke: "#888780", strokeDasharray: "6,4", strokeWidth: 1.5}),
    Plot.line(renta.curve, {x: "n", y: "re", stroke: "#1D9E75", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.dot(renta.periods, {x: "n", y: "re", fill: "#1D9E75", r: 5}),
    Plot.text(renta.periods, {x: "n", y: "re", text: d => String(d.n), dy: -13, fontSize: 11}),
    Plot.tip(renta.curve, Plot.pointerX({
      x: "n", y: "re",
      title: d => `n ≈ ${Math.round(d.n)}\nEffektiv renta: ${d.re.toFixed(4)}%`,
      fill: "white", stroke: "black"
    }))
  ],
  x: {
    label: "Tal av terminum n",
    type: "log",
    ticks: [1, 2, 4, 12, 52, 365]
  },
  y: {
    label: "Effektiv renta rₑ (%)",
    tickFormat: d => d.toFixed(3) + "%"
  },
  caption: `Grá strikað: markvirði eʳ − 1 ≈ ${renta.rLimit.toFixed(4)}%`,
  width: 640,
  height: 300,
  marginLeft: 80,
  marginTop: 30,
})}</div>`

Talva

Her sært tú tølini.

{
  const wrap = document.createElement("div");

  const allRows = [...renta.periods, {name: "n → ∞", n: "∞", re: renta.rLimit}];

  const btn = document.createElement("button");
  btn.className = "btn btn-outline-secondary btn-sm mb-2";
  btn.textContent = "Avrita talvu (til Excel)";
  btn.addEventListener("click", () => {
    const cols = ["Terminstíðin", "n", "Effektiv renta rₑ (%)"];
    const lines = [cols.join("\t")];
    for (const d of allRows) {
      lines.push([d.name, d.n, d.re.toFixed(4)].join("\t"));
    }
    navigator.clipboard.writeText(lines.join("\n")).then(() => {
      const old = btn.textContent;
      btn.textContent = "Avritað ✓";
      setTimeout(() => { btn.textContent = old; }, 1500);
    });
  });
  wrap.appendChild(btn);

  const table = document.createElement("table");
  table.className = "table table-striped table-sm";
  const thead = document.createElement("thead");
  const headRow = document.createElement("tr");
  for (const label of ["Terminstíðin", "n", "Effektiv renta rₑ (%)"]) {
    const th = document.createElement("th");
    th.textContent = label;
    headRow.appendChild(th);
  }
  thead.appendChild(headRow);
  table.appendChild(thead);

  const tbody = document.createElement("tbody");
  for (const d of allRows) {
    const tr = document.createElement("tr");
    const cells = [d.name, String(d.n), d.re.toFixed(4) + "%"];
    for (const text of cells) {
      const td = document.createElement("td");
      td.textContent = text;
      tr.appendChild(td);
    }
    tbody.appendChild(tr);
  }
  table.appendChild(tbody);
  wrap.appendChild(table);

  return wrap;
}