Miðalvirði

Innleiðing

Miðalvirðið (mean) er tað mest brúkta mátið fyri miðtalið í eini dátumongd. Hendan síðan vísir, hvussu vit rokna miðalvirði og spjaðing fyri óbólkaðar observatiónir. Fyri bólkaðar observatiónir, sí Miðalvirði.

Frymil

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Dømi: Finn miðalvirðið av: 4, 7, 3, 8, 5

\[ \bar{x} = \frac{4 + 7 + 3 + 8 + 5}{5} = \frac{27}{5} = 5{,}4 \]

Miðalvirði úr frekvenstabelli

Hava vit longu gjørt eina frekvenstabell, kunnu vit rokna miðalvirðið beinleiðis úr henni, við at vekta hvørja observatión \(x_i\) við sínum frekvensi/relativa títtleiki, \(f_i\):

\[ \bar{x} = \sum_{i} f_i \cdot x_i \]

Vektað miðalvirði

Tá ymisk virði hava ymiskar vektir (t.d. próvúrslit, ið ikki telja eins nógv), brúka vit í staðin:

\[ \bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Dømi: Próvtøka 1 gevur 80 stig og telur 30%, próvtøka 2 gevur 90 stig og telur 70%:

\[ \bar{x}_w = \frac{80 \cdot 0{,}3 + 90 \cdot 0{,}7}{0{,}3 + 0{,}7} = \frac{24 + 63}{1} = 87 \]

Variansur fyri eina stakroynd

Variansurin fyri eina stakroynd vísir, hvussu dáturnar eru spreiddar kring miðalvirðið:

\[ \hat \sigma^2 = s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Vanliga, tá ið talan ikki varians fyri eina stakroynd, býta vit við \(n\) og ikki \(n-1\): \[ \sigma^2 =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Spjaðing fyri eina stakroynd

Spjaðingin, eisini kallað standardfrávíkið, fyri eina stakroynd er kvadratrótin av varinsinum:

\[ s = \sqrt{s^2} \]

Dømi: Dáta: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

\[ \bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5 \]

\[ s^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{7} \] \[ = \frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{7} = \frac{32}{7} \approx 4{,}57 \]

\[ s = \sqrt{4{,}57} \approx 2{,}14 \]

Tulking: Lítil spjaðing merkir, at dáturnar liggja tætt at miðalvirðinum; stór spjaðing merkir, at dáturnar eru meira spreiddar frá miðalvirðinum.

Eginleikar hjá miðalvirðinum

• Summurin av øllum frávikunum frá miðalvirðinum er altíð \(0\): \(\; \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0\)
• Miðalvirðið verður ávirkað av øllum virðum - tey virðini ið víkja mest frá hinum, ávirka miðaltalið mest
• Leggja vit somu tal \(c\) afturat øllum dátum, veksur miðalvirðið eisini við \(c\): \(\; \overline{x + c} = \bar{x} + c\)

Dømi

Próvúrslit: Ein næmingur hevur hesi próvtølini: 7, 10, 4, 12, 10, 7

\[ \bar{x} = \frac{7 + 10 + 4 + 12 + 10 + 7}{6} = \frac{50}{6} \approx 8{,}33 \]

Við frávíkjandi virðum: Hæddirnar hjá 6 persónum (cm): 170, 175, 168, 172, 210, 169

\[ \bar{x} = \frac{170 + 175 + 168 + 172 + 210 + 169}{6} = \frac{1064}{6} \approx 177{,}3 \text{ cm} \]

Legg til merkis, at 210 cm (eitt frávíkjandi úrslit) dregur miðalvirðið munandi upp. Hetta vísir, at miðalvirðið verður ávirkað av øllum virðum, og serliga nógv av virðum ið víkja nógv frá hinum.

Filmur