Kvadratsetningar innleiðsla
Innleiðing
Kvadratsetningarnar brúka man ofta, tá man skal stytta úttrykk. Teir handla um, hvat sum hendir, tá man faldar tvær parentesir saman, sum innihalda sømu tøl.
\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\]
\[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\]
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
Dømir
Dømir á teir triggjar kvadratsetningar kunnu vera:
\[(3+x)^2=3^2+x^2+2\cdot 3 \cdot x=9+x^2+6x\]
\[(x-5)^2=x^2+5^2-2\cdot x \cdot 5=x^2+25-10x\]
\[(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16\]
Loysa líkningar við kvadratsetningum
Vit kunnu brúka kvadratsetningarnar til at loysa líkningar.
Um vit til dømis hava líkningina:
\[x^2+9=6x\]
Byrja við at flyta \(6x\) yvir á vinstru síðu:
\[x^2+9-6x=0\]
so umskriva vit vinstru síðu:
\[x^2+9-6x=x^2+3^2-2\cdot 3 \cdot x\]
Nú kunnu vit brúka næsta kvadratsetningin “aftureftir” til at samla útrykkini:
\[x^2+3^2-2\cdot 3 \cdot x=(x-3)^2\]
Nu er líkningnin:
\[(x-3)^2=0\]
Her síggja vit at um vinstra síða skal geva \(0\), so má \(x-3\) vera \(0\). Tí er loysnin: \(x=3\).