Symmetriskt Líkindaøki

Filmur

Innleiðing

Í teimum dømum, vit hava sæð higartil, hava øll úrslit havt somu sannlíkindi: hvør síða á terninginm hevur havt sannlíkindi \(\frac{1}{6}\), og hvørt kort sannlíkindi \(\frac{1}{52}\). Hetta er ikki av tilvild. Ein rættvísur terningur og væl blandað spælikort eru júst gjørd fyri, at øll úrslit skulu standa jøvn.

Eitt líkindaøki, har øll úrslit hava somu sannlíkindi, verður kallað eitt symmetriskt líkindaøki. Í slíkum økjum verður rokningin sera einføld: vit skulu faktiskt bara telja.

Definitión

Lat úrslitamongdina innihalda \(n\) einstøk úrslit. Líkindaøkið verður kalla symmetriskt, tá ið

\[p_1 = p_2 = p_3 = \cdots = p_n = \frac{1}{n}\]

Vit vita frá líkindafunktiónini, at øll sannlíkindini samanlagt skulu geva 1. Eru tey øll líka stór, má hvørt teirra vera \(\frac{1}{n}\), tí

\[\underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}}_{n \text{ liðir}} = n \cdot \frac{1}{n} = 1\]

Fyri ein terning er \(n = 6\) og sannlíkindi \(\frac{1}{6}\); fyri spælikort er \(n = 52\) og sannlíkindi \(\frac{1}{52}\).

Frymilin

Lat \(A\) vera eina hending í einum symmetriskum líkindaøki. Lat \(A\) innihalda \(k\) einstøk úrslit, og alla úrslitamongdina innihalda \(n\) úrslit. Sannlíkindini fyri \(A\) er summurin av \(k\) liðum, har ið hvør er \(\frac{1}{n}\), og tí er

\[P(A) = \frac{k}{n} = \frac{\text{tal av úrslitum í} A}{\text{tal av møguligum úrslitum}}\]

Hesin frymilin er sera umráðandi, men legg til merkis, at hann bert virkar, tá ið øll úrslit eru eins sannlík. Er terningurin skeivur, ella er koritni ikki blandað, riggar tað ikki at “telja” - tá mugu vit hava sannlíkindini fyri hvørt einstakt úrslit.

Frymilin flytir arbeiðið frá rokning til at telja. Fyri at finna \(P(A)\) skulu vit bert svara tveimum spurningum:

1. Hvussu nógv møgulig úrslit eru í alt (í úrslitamongdini)? Tað er \(n\).
2. Hvussu nógv av teimum eru í hendingini \(A\)? Tað er \(k\).

Fyri smáar úrslitamongdir kunnu vit telja á fingrunum. Tá ið mongdirnar veksa, verður teljingin sjálv til eina útrokning/frymil - og tað er júst tað, sum kombinatorikkurin seinni í hesum evninum viðgerð.

Dømi

Vit kasta ein rættvísan terning. Hendingin “at fáa meira enn fýra” er \(A = \{5, 6\}\), sum hevur \(k = 2\) úrslit av \(n = 6\):

\[P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Hendingar, sum ikki ávirka hvørja aðra

Í filminum kemur nakað fram, sum vit koma at arbeiða meira við seinni: at tvær hendingar kunnu vera óheftar hvør av aðrari.

Hugsa um, at vit kasta við einum terningi tvær ferð. Fyrsta kastið gevur ein seksara ella ikki; annað kastið gevur eitt makað tal ella ikki. Terningurin minnist ikki fyrsta kastið - hann liggur ikki og hugsar um, hvat hann vísti áðrenn. Tí er sannlíkindini fyri einum makaðum tali í øðrum kasti \(\frac{1}{2}\), óansæð hvat fyrsta kastið gav. Vit siga, at hesar tvær hendingarnar eru óheftar.

Tað er ikki altíð so. Hyggja vit at einum kasti og hendingunum “at fáa ein seksara” og “at fáa eitt makað tal”, so ávirka tær hvør aðra: vita vit, at úrslitið var makað, eru bert trý úrslit eftir at velja ímillum - \(2, 4\) og \(6\) - og sannlíkindini fyri einum seksara er tá \(\frac{1}{3}\), ikki \(\frac{1}{6}\).

Her nøktast vit við hesari óformligu myndina. Á síðuni um óheftar hendingar fáa vit ta neyvu lýsingina av, nær tvær hendingar veruliga eru óheftar.