Summatiónstekin
Innleiðing
Summatiónstekin (\(\sum\)) er ein matematiskur háttur at skriva langar summar stutt og skilliga.
Reglur
Konstantar kunnu trekkjast úr: \[ \sum_{i=1}^{n} c \cdot x_i = c \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Skilja summar frá hvør øðrum: \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i \]
Summar av konstantum: \[ \sum_{i=1}^{n} c = n \cdot c \]
Nøkur kend úrslit
Summurin av teimum fyrstu \(n\) heiltølunum, kvadratum og triðju-potensum hava sínar egnu, stuttu frymlar. Hetta er hent at duga, tá ið \(n\) er stórt, og tú ikki vilt leggja hvørt lið saman fyri seg:
Gauss-summurin (summurin av teimum fyrstu \(n\) heiltølunum): \[ \sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \]
summurin av teimum fyrstu \(n\) kvadratunum: \[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
summurin av teimum fyrstu \(n\) triðju-potensunum: \[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} i \right)^2 \]
Legg til merkis, at summurin av triðju-potensunum er sama sum kvadratið av Gauss-summinum - eitt sindur óvæntað, men rætt.
Dømi 1
\[ \sum_{i=1}^{5} 2i = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 30 \]
Kann eisini roknast við at trekkja konstantin út og brúka Gauss-summin: \[ \sum_{i=1}^{5} 2i = 2\sum_{i=1}^{5} i = 2 \cdot \frac{5 \cdot 6}{2} = 30 \]
Dømi 2
\[ \sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \]
Kann eisini roknast við frymlinum fyri summin av kvadratum: \[ \sum_{i=1}^{4} i^2 = \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = \frac{180}{6} = 30 \]