Annuitetslán prógv
Byrjan
Vit vilja vísa frymilin fyri annuitetslán,
\[ A_0 = y \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}, \]
har \(A_0\) er lánsupphæddin, \(y\) terminsgjaldið og \(r\) rentan um termin.
Tann snilda leiðin: nýt framtíðarvirðið
Vit brúka úrslitið frá Annuitetsuppsparing prógv. Har vístu vit, at \(n\) jøvn gjøld \(y\) við rentu \(r\) hava framtíðarvirðið
\[ A_n = y \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}. \]
Hetta er virðið av øllum gjøldunum, mett í endanum av tíðarskeiðinum.
Frá framtíðarvirði til nútíðarvirði
Lánsupphæddin \(A_0\) er virðið av somu gjøldum, men mett í dag, tað er í byrjanini. Vit flyta tí framtíðarvirðið \(A_n\) aftur um \(n\) terminar við at deila við \((1+r)^n\):
\[ A_0 = \frac{A_n}{(1+r)^n} = \frac{y}{(1+r)^n} \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}. \]
Einfalding
Vit deila \((1+r)^n - 1\) við \((1+r)^n\) liðsvíst, og fáa \(1 - (1+r)^{-n}\):
\[ A_0 = y \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}. \]
Tað var júst tað, vit skuldu vísa. \(\blacksquare\)