Dømi: Hendingar (Terningur)

Filmur

Dømi

Vit kasta einum rættvísum terningi. Úrslitamongdin er

\[U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]

og hvørt úrslit hevur sannlíkindið \(\frac{1}{6}\).

Vit hyggja at tveimum hendingum:

\[A = \{2, 4, 6\} \quad \text{("makað tal")}, \qquad B = \{4, 5, 6\} \quad \text{("størri enn trý")}\]

Her verður einki nýtt ástøði innført. Vit brúka bert reglurnar frá seinastu síðuni á hesar báðar hendingarnar.

Sannlíkindini fyri \(A\) og \(B\)

Báðar hendingar hava trý úrslit, og hvørt úrslit hevur sannlíkindið \(\frac{1}{6}\):

\[P(A) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

\[P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Felagsmongdin \(A \cap B\)

Hvørji úrslit eru bæði makað og størri enn trý? Tað eru \(4\) og \(6\):

\[A \cap B = \{4, 6\}\]

\[P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Sammongdin \(A \cup B\)

Hvørji úrslit eru makað ella størri enn trý? Tað eru \(2, 4, 5\) og \(6\):

\[A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\]

Vit kunnu telja beinleiðis:

\[P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Ella vit kunnu nýta additiónsregluna og fáa tað sama:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

Legg til merkis, hvat hendir, um vit gloyma at draga \(P(A \cap B)\) frá: tá fáa vit \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\), sum sigur, at hendingin altíð kemur fyri. Tað er skeivt - kastar tú ein eittara ella ein tríara, kemur hvørki \(A\) ella \(B\) fyri. Úrslitini \(4\) og \(6\) vóru tald tvær ferðir.

Komplementeru hendingarnar

Hendingin “ikki makað tal” er

\[A^c = \{1, 3, 5\}, \qquad P(A^c) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

sum eisini fæst beinanvegin úr reglini:

\[P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Á sama hátt er

\[B^c = \{1, 2, 3\}, \qquad P(B^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Ein hending afturat

Lat okkum til endans hyggja at

\[C = \{1\} \quad \text{("at fáa ein eittara")}\]

Hendingarnar \(B\) og \(C\) hava einki úrslit í felag, tí \(1\) er ikki størri enn trý:

\[B \cap C = \emptyset\]

Tí eru tær disjunktar, og additiónsreglan verður einfaldari:

\[P(B \cup C) = P(B) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Tað sæst eisini beinleiðis: \(B \cup C = \{1, 4, 5, 6\}\), sum eru fýra úrslit av seks.