Dømi: Tveir Terningar
Filmur
Dømi
Vit kasta tveimum rættvísum terningum og leggja eyguni saman. Vit ímynda okkum at ein terningur er reyður og hin bláur, so at vit kunnu skilja teir sundur.
Hvat eru sannlíkindini fyri, at summurin er 7?
Úrslitamongdin
Fyrsta stigið er sum altíð at gera greitt, hvat eitt úrslit er. Her er eitt úrslit ikki eitt tal, men eitt par: hvat reyði terningurin vísti, og hvat blái terningurin vísti. Vit skriva úrslitið sum \((3, 5)\), tá ið reyði vísir trý og blái vísir fimm.
Reyði terningurin kann vísa seks ymisk tøl, og fyri hvørt teirra kann blái terningurin vísa seks ymisk tøl. Tí eru
\[6 \cdot 6 = 36\]
møgulig úrslit í alt.
Tað er umráðandi at skilja hendingarnar \((3, 5)\) og \((5, 3)\) sundur. Tey eru tvey ymisk úrslit, hóast summurin er hin sami. Høvdu vit ikki hildið teimum sundur, høvdu vit ikki fingið eitt symmetriskt líkindaøki, tí “trý og fimm” hendir tá tvær ferðir so ofta sum “fimm og fimm”. (Hugsið um hetta)
Terningarnir eru rættvísir, so øll 36 úrslitini eru eins sannlík, og hvørt teirra hevur sannlíkindi \(\frac{1}{36}\).
Summurin í hvørjum úrsliti
Talvan niðanfyri vísir summin fyri hvørt av teimum 36 úrslitunum. Reyði terningurin stendur í vinstra bjálka, blái terningurin í ovastu rað.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Hendingin
Lat \(A\) vera hendingina “summurin er 7”. Úr talvuni lesa vit hana beinleiðis av - tað eru teir seks møguleikar, sum standa á skák niðan ígjøgnum talvuna:
\[A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\]
Hendingin hevur tí \(k = 6\) úrslit.
Sannlíkindi
Vit hava eitt symmetriskt líkindaøki við \(n = 36\) úrslitum, so
\[P(A) = \frac{k}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
Ein samanbering
Talvan sigur eisini, hví 7 er tann summurin, sum kemur oftast fyri. Summurin 2 kann bert fáast á ein hátt, \((1,1)\), og tí er
\[P(\text{summurin er } 2) = \frac{1}{36}\]
Summurin 7 kann fáast á seks ymsar hættir og er tí seks ferðir so sannlíkur. Í hesum líkindaøkinum eru úrslitini eins sannlík(!!!), men summarnir eru tað als ikki.
Hetta ber ikki til í longdini
Legg til merkis, hvat vit vóru noydd at gera fyri at loysa hesa uppgávuna: vit settu allar 36 møguleikarnar upp og taldu teir. Tað gekk væl her, men hugsa um, hvat hendir, um vit kasta trimum terningum. Tá eru
\[6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\]
úrslit, og skulu vit velja fimm kort útav 52, eru meira enn tvær milliónir møguleikar. Tá ber tað ikki til at tekna talvuna.
Vit hava tí brúk fyri einum amboði, sum kann telja møguleikarnar uttan at seta teir allar upp. Tað amboðið er kombinatorikkurin, og hann er evnið í seinastu bólkinum í hesum evninum.