Líkindaøki

Filmur

Innleiðing

Tá ið vit lýsa eina stokastiska roynd støddfrøðiliga, kunnu vit ikki bara siga, hvat kann henda. Vit mugu eisini siga, hvussu sannlíkt hvørt av teimum møguligu úrslitunum er, og hvørjar spurningar vit yvirhøvur ætla at rokna sannlíkindi fyri. Ein slík fullfíggjað lýsing verður kallað eitt líkindaøki.

Skilgreining

Eitt líkindaøki er sett saman av trimum pørtum:

\[(U, H, P)\]

• \(U\) er úrslitamongdin - mongdin av øllum møguligum úrslitum av royndini.
• \(H\) er mongdin av hendingum - teir spurningar um royndina, sum vit kunnu rokna sannlíkindi fyri.
• \(P\) er líkindafunktiónin - tann sum letur hvørja hending fáa eini líkindi.

Hesir tríggir partarnir hoyra saman. Úrslitamongdin sigur, hvat kann henda; hendingarnar siga, hvørjar samanleggingar av úrslitum vit hava áhuga fyri; og líkindafunktiónin setur tøl á.

Úrslitamongdin \(U\)

Úrslitamongdin er mongdin av øllum úrslitum, sum stokastiska royndin kann geva - og hvørt einstakt útfall skal vera við í úrslitamongdini júst eina ferð.

Kasta vit einum terningi, er

\[U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]

Vit siga, at \(U\) hevur \(n = 6\) møgulig úrslit. Also skrivi vit vanliga úrslitamongdina sum

\[U = \{u_1, u_2, \ldots, u_n\}\]

Kasta vit einari mynt, er úrslitamongdin bert

\[U = \{\text{króna}, \text{platt}\}\]

Úrslitini í \(U\) eru teir minstu bygningssteinarnir í øllum, sum kemur eftir. Eitt einstakt úrslit kann ikki býtast sundur í smærri partar.

Sannlíkindini

Áðrenn vit arbeiða neyvt við líkindafunktiónini, er tað gott at hava eina óformliga mynd av, hvat hon ger.

Hvørt úrslit \(u_i\) í \(U\) fær eitt tal \(p_i\), sum sigur, hvussu sannlíkt júst tað úrslitið er. Tvey krøv eru til hesi tølini(sannlíkindini):

1. Hvørt tal liggur millum 0 og 1. Sannlíkindi kunnu ikki vera negativ, og einki úrslit kann vera meira enn heilt víst.
2. Tá ið vit leggja øll tølini saman, fáa vit 1:

\[p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_n = 1\]

Seinna kravið sigur bert, at stokastiska royndin altíð gevur eitt av úrslitunum í \(U\) - okkurt hendir.

Fyri ein rættvísan terning við seks síðum verða tølini

\[p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6}\]

og tey leggja saman til \(6 \cdot \frac{1}{6} = 1\), sum tey skula.

Tað er vanligt at seta hetta upp í eina líkindatalvu:

Úrslit	1	2	3	4	5	6
Sannlíkindi	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)

Legg til merkis, at tað ikki er eitt krav, at øll úrslit hava somu sannlíkindi. Um terningurin var skeivur, kundu tølini verið ymisk - tey skuldu tó framvegis ligið millum 0 og 1 og samanlagt verið 1.

Á næstu síðu seta vit hesi krøvini formliga upp sum eginleikar hjá líkindafunktiónini \(P\).