Rentufrymilin

Innleiðing

Á síðunum við prosentrokning sóu vit, hvussu man leggur prosent afturat einum virði; Men hvat hendir, um sama prosent verður lagt afturat ár eftir ár? Tá noyðist undanfarin renta sjálv at gerast partur av grundlagnum fyri forrentingini komandi næsta ár. Útrokningin er tí ikki beinleiðis: Kapitalurin veksur av vøkstri. Hetta er grundtankin í renturokning.

Rentufrymilin

Rentufrymilin lýsir, hvussu byrjanarkapital \(K_0\) veksur, tá ið sama renta \(r\) verður løgd afturat \(n\) ferð:

\[ K = K_0 \cdot (1 + r)^n \]

har:

• \(K_0\) er byrjanarkapitalurin (kr)
• \(r\) er rentan sum desimaltal, t.d. \(0{,}10\) fyri \(10\%\)
• \(n\) er talið av tíðarskeiðum, \(n \in \mathbb{N}\)
• \(K\) er enda-kapitalurin eftir \(n\) tíðarskeið

Hvørt tíðarskeið verður rentan rokna av tí (møguliga) forrentaða kapitalinum, ikki av upprunaliga byrjanarkapitalinum. Tí veksur kapitalurin ikki linjurætt - hann veksur av vøkstri. Hetta kallast renturenta.

“Compound interest(renturentu) is the eighth wonder of the world. He who understands it, earns it; he who doesn’t, pays it.”

• Albert Einstein

Dømi

Hvussu nógv gerst 100 kr við 10% árligari rentu eftir 10 ár?

Vit seta inn í frymilin við \(K_0 = 100\), \(r = 0{,}10\) og \(n = 10\):

\[ K = 100 \cdot (1 + 0{,}10)^{10} = 100 \cdot (1{,}10)^{10} \approx 100 \cdot 2{,}5937 = 259{,}37 \text{ kr} \]

Til samanberingar: við beinleiðis (linjurøttum) vøkstri við sama prosent-vøkstri verður útrokningin:

\[ K = 100 + 100 \cdot 0{,}10 \cdot 10 = 200{,}00 \text{ kr} \]

Munurin - 59,37 kr - kemur av tí, at rentan sjálv veksur á hvørjum ári. Yvir longri tíð verður munurin munandi størri.

Royn tað sjálv/ur: kapitalvøkstur

viewof K0 = Inputs.range([100, 1000000], {value: 100, step: 50, label: "Byrjanarkapital K₀ (kr)"})
viewof rPct = Inputs.range([-10, 25], {value: 10, step: 1, label: "Renta r (%)"})
viewof n = Inputs.range([1, 20], {value: 10, step: 1, label: "Tal av árum n"})

r = rPct / 100
K = K0 * Math.pow(1 + r, n)

md`**Frymil:** K = ${K0} · (${(1 + r).toFixed(2)})^${n}
**Endavirði K:** ${K.toFixed(0)} kr`

frymil = {
  const rows = [];
  for (let i = 0; i <= n; i++) {
    const rentuARentu = K0 * Math.pow(1 + r, i);
    const beinleidis = K0 + K0 * r * i;
    rows.push({ ar: i, rentuARentu, beinleidis, munur: rentuARentu - beinleidis });
  }
  const long = rows.flatMap(d => [
    { ar: d.ar, slag: "Við rentu av rentu", virdi: d.rentuARentu },
    { ar: d.ar, slag: "Beinleiðis vøkstur", virdi: d.beinleidis }
  ]);
  return { rows, long };
}

html`<div class="rentu-plot">${Plot.plot({
  marks: [
    Plot.gridY({stroke: "#e0e0e0"}),
    Plot.line(frymil.long, { x: "ar", y: "virdi", stroke: "slag", strokeWidth: 2.5 }),
    Plot.dot(frymil.long, { x: "ar", y: "virdi", fill: "slag", r: 3 }),
    Plot.tip(frymil.rows, Plot.pointerX({
      x: "ar", y: "rentuARentu",
      title: d => `Ár ${d.ar}\nRenta av rentu: ${d.rentuARentu.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr\nBeinleiðis vøkstur: ${d.beinleidis.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr\nMunur: ${d.munur.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr`,
      fill: "white", stroke: "black"
    }))
  ],
  x: { label: "Ár" },
  y: { label: "Virði (kr)", tickFormat: d => d.toLocaleString("da-DK") + " kr" },
  color: {
    legend: true,
    domain: ["Við rentu av rentu", "Beinleiðis vøkstur"],
    range: ["#1D9E75", "#888780"]
  },
  width: 640,
  height: 320,
  marginLeft: 70
})}</div>`

Alsamt vaksandi munur

Munurin millum beinleiðis vøkstur og vøkstrinum tá ið vit so eisini taka rentuna við er lítil í byrjanini, men veksur síðani av vøkstri - tí er hann ávirkaður av “renta av rentu”-endurgjaldinum. Drag í dragistýraran omanfyri og legg til merkis, hvussu skjótt munurin millum linjurnar veksur, tá \(n\) fleiri ár leggjast afturat.

Plot.plot({
  marks: [
    Plot.areaY(frymil.rows, { x: "ar", y: "munur", fill: "#1D9E75", fillOpacity: 0.15 }),
    Plot.line(frymil.rows, { x: "ar", y: "munur", stroke: "#1D9E75", strokeWidth: 2.5 }),
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.tip(frymil.rows, Plot.pointerX({
      x: "ar", y: "munur",
      title: d => `Ár ${d.ar}\nMunur: ${d.munur.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})} kr`,
      fill: "white", stroke: "black"
    }))
  ],
  x: { label: "Ár" },
  y: { label: "Munur (kr)", tickFormat: d => d.toLocaleString("da-DK") + " kr" },
  width: 640, height: 220, marginLeft: 75, marginTop: 20
})

Tip

tummilfingra-regulin - 72-ára reglan: Vilt tú skjótt meta um, hvussu mong ár tað tekur at tvífalda eina kapitalíløgu, kanst tú býta 72 við rentuna: \(n \approx 72 / r\%\). Við \(r = 10\%\) gevur hetta \(72/10 = 7{,}2\) ár. Royn hetta sjálv/ur omanfyri við at seta rentuna til 10% og kanna, nær kapitalurin fer um 200 kr.

Talva

Her sært tú virðini fyri hvørt ár.

{
  const wrap = document.createElement("div");

  const btn = document.createElement("button");
  btn.className = "btn btn-outline-secondary btn-sm mb-2";
  btn.textContent = "Avrita talvu (til Excel)";
  btn.addEventListener("click", () => {
    const cols = ["Ár", "Við rentu av rentu (kr)", "Beinleiðis vøkstur (kr)", "Munur (kr)"];
    const lines = [cols.join("\t")];
    for (const d of frymil.rows) {
      lines.push([d.ar, Math.round(d.rentuARentu), Math.round(d.beinleidis), Math.round(d.munur)].join("\t"));
    }
    navigator.clipboard.writeText(lines.join("\n")).then(() => {
      const old = btn.textContent;
      btn.textContent = "Avritað ✓";
      setTimeout(() => { btn.textContent = old; }, 1500);
    });
  });
  wrap.appendChild(btn);

  const table = document.createElement("table");
  table.className = "table table-striped table-sm";
  const thead = document.createElement("thead");
  const headRow = document.createElement("tr");
  for (const label of ["Ár", "Við rentu av rentu (kr)", "Beinleiðis vøkstur (kr)", "Munur (kr)"]) {
    const th = document.createElement("th");
    th.textContent = label;
    headRow.appendChild(th);
  }
  thead.appendChild(headRow);
  table.appendChild(thead);

  const tbody = document.createElement("tbody");
  for (const d of frymil.rows) {
    const tr = document.createElement("tr");
    const cells = [
      String(d.ar),
      d.rentuARentu.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0}),
      d.beinleidis.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0}),
      d.munur.toLocaleString("da-DK", {maximumFractionDigits: 0})
    ];
    for (const text of cells) {
      const td = document.createElement("td");
      td.textContent = text;
      tr.appendChild(td);
    }
    tbody.appendChild(tr);
  }
  table.appendChild(tbody);
  wrap.appendChild(table);

  return wrap;
}