Rentufrymilin

Innleiðing

Á síðunum við prosentrokning sóu vit, hvussu man leggur prosent afturat einum virði; Men hvat hendir, um sama prosent verður lagt afturat ár eftir ár? Tá noyðist undanfarin renta sjálv at gerast partur av grundlagnum fyri forrentingini komandi næsta ár. Útrokningin er tí ikki beinleiðis: Kapitalurin veksur av vøkstri. Hetta er grundtankin í renturokning.

Rentufrymilin

Rentufrymilin lýsir, hvussu byrjanarkapital \(K_0\) veksur, tá ið sama renta \(r\) verður løgd afturat \(n\) ferð:

\[ K = K_0 \cdot (1 + r)^n \]

har:

• \(K_0\) er byrjanarkapitalurin (kr)
• \(r\) er rentan sum desimaltal, t.d. \(0{,}10\) fyri \(10\%\)
• \(n\) er talið av tíðarskeiðum, \(n \in \mathbb{N}\)
• \(K\) er enda-kapitalurin eftir \(n\) tíðarskeið

Hvørt tíðarskeið verður rentan rokna av tí (møguliga) forrentaða kapitalinum, ikki av upprunaliga byrjanarkapitalinum. Tí veksur kapitalurin ikki linjurætt - hann veksur av vøkstri. Hetta kallast renturenta.

“Compound interest(renturentu) is the eighth wonder of the world. He who understands it, earns it; he who doesn’t, pays it.”

• Albert Einstein

Dømi

Hvussu nógv gerst 100 kr við 10% árligari rentu eftir 10 ár?

Vit seta inn í frymilin við \(K_0 = 100\), \(r = 0{,}10\) og \(n = 10\):

\[ K = 100 \cdot (1 + 0{,}10)^{10} = 100 \cdot (1{,}10)^{10} \approx 100 \cdot 2{,}5937 = 259{,}37 \text{ kr} \]

Til samanberingar: við beinleiðis (linjurøttum) vøkstri við sama prosent-vøkstri verður útrokningin:

\[ K = 100 + 100 \cdot 0{,}10 \cdot 10 = 200{,}00 \text{ kr} \]

Munurin - 59,37 kr - kemur av tí, at rentan sjálv veksur á hvørjum ári. Yvir longri tíð verður munurin munandi størri.

Royn tað sjálv/ur: kapitalvøkstur

viewof K0 = Inputs.range([100, 2000], {value: 100, step: 50, label: "Byrjanarkapital K₀ (kr)"})
viewof rPct = Inputs.range([-10, 25], {value: 10, step: 1, label: "Renta r (%)"})
viewof n = Inputs.range([1, 20], {value: 10, step: 1, label: "Tal av árum n"})

r = rPct / 100
K = K0 * Math.pow(1 + r, n)

md`**Formil:** K = ${K0} · (${(1 + r).toFixed(2)})^${n}
**Endavirði K:** ${K.toFixed(0)} kr`

data = {
  const rows = [];
  for (let i = 0; i <= n; i++) {
    rows.push({ ar: i, virdi: K0 * Math.pow(1 + r, i), slag: "Rentu á rentu" });
    rows.push({ ar: i, virdi: K0 + K0 * r * i, slag: "Beinleiðis vøkstur" });
  }
  return rows;
}

Plot.plot({
  marks: [
    Plot.gridY({stroke: "#e0e0e0"}),
    Plot.line(data, { x: "ar", y: "virdi", stroke: "slag", strokeWidth: 2.5 }),
    Plot.dot(data, { x: "ar", y: "virdi", fill: "slag", r: 3 })
  ],
  x: { label: "Ár" },
  y: { label: "Virði (kr)", tickFormat: d => d.toLocaleString("da-DK") + " kr" },
  color: {
    legend: true,
    domain: ["Rentu á rentu", "Beinleiðis vøkstur"],
    range: ["#1D9E75", "#888780"]
  },
  width: 640,
  height: 320,
  marginLeft: 70
})