Stakroynd u. Afturlegging, u. Raðfylgju

Filmur

Innleiðing

Støðan er hin sama sum á seinastu síðuni - vit velja \(r\) lutir av \(n\) lutum, og ein lutur, sum er valdur, kann ikki veljast aftur - men við einari broyting:

Raðfylgjan hevur ikki longur týdning.

Velja vit luttakararnar \(A\), \(B\) og \(C\) til eitt lið, er tað sama liðið, hvat so raðfylgjan var, tá ið vit nevndu tey. \(ABC\), \(ACB\), \(BAC\), \(BCA\), \(CAB\) og \(CBA\) eru sama úrval.

Frymilin

Vit vita longu, hvussu nógv úrvøl við raðfylgju eru:

\[P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]

Spurningurin er nú, hvussu nógvar ferðir hvørt úrval verður talt í hesum talinum.

Hyggja vit at trimum lutum \(A\), \(B\) og \(C\), sóu vit omanfyri, at tey koma fyri í seks ymiskum raðfylgjum. Og seks er júst

\[3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\]

Tað er einki tilvildarligt við tí: at raðseta \(r\) lutum er tað sama sum at velja \(r\) lutir av \(r\) við raðfylgju, og tað er \(r!\) møguleikar.

Hvørt úrval verður tí talt neyvt \(r!\) ferðir í \(P(n, r)\). Skulu vit telja hvørt úrval eina einastu ferð, býta vit við \(r!\):

\[K(n, r) = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\]

Talið verður kallað talið av kombinatiónum - talið av mátum at velja \(r\) lutir av \(n\) lutum, tá ið raðfylgjan ikki hevur týdning.

Binomialkoefficientur

Kombinatiónir eru so vanligar, at tær hava ein annan og styttri skrivihátt:

\[\binom{n}{r} = K(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\]

Teknið \(\binom{n}{r}\) verður lisið “\(n\) velja \(r\)” og verður nevnt ein binomialkoeffisientur. Tað er júst tað sama sum \(K(n,r)\) - bert skrivað øðrvísi. Vit nýta hendan skriviháttin á næstu síðu.

Dømi: eitt lið

Átta luttakarar eru í einum bólki, og vit skulu velja trý av teimum til eitt lið. Her hevur raðfylgjan ongan týdning - liðið er tað sama, hvat so vit nevna tey í.

\[K(8, 3) = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\,(8-3)!} = \frac{8!}{3!\,5!} = \frac{40\,320}{6 \cdot 120} = \frac{40\,320}{720} = 56\]

Møguleikarnir eru 56.

Á seinastu síðu fingu vit 336, tá ið vit valdu trý av átta við raðfylgju. Munurin er júst \(3! = 6\):

\[\frac{336}{6} = 56\]

Hvørt lið av trimum var talt seks ferðir har, eina ferð fyri hvørja raðfylgju.

Tríggir frymlar á einum stað

Støða	Frymil
Stakroynd við afturlegging, raðfylgja hevur týdning	\(n^r\)
Stakroynd uttan afturlegging, raðfylgja hevur týdning	\(P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
Stakroynd uttan afturlegging, raðfylgja hevur ikki týdning	\(K(n,r) = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)

Tá ið tú møtir eini teljiuppgávu, skalt tú fyrst spyrja teg sjálvan hesar tveir spurningar: verður luturin lagdur aftur, og hevur raðfylgjan týdning?