Samlað dømi: Líkindaøki

Filmur

Dømi

Nú hava vit allar lutir í hondini: úrslitamongdina, hendingar, líkindafunktiónina og roknireglurnar. Á hesari síðuni finna vit ikki nakað nýtt - vit byggja eitt heilt líkindaøki upp frá byrjan og síggja, hvussu pettini hanga saman.

Stokastiska royndin er hendan: vit draga eitt kort tilvildarliga úr einum vanligum kortspæli.

1. Úrslitamongdin \(U\)

Fyrsta stigið er altíð at gera greitt, hvørji úrslit royndin kann geva. Her er hvørt einstakt kort eitt úrslit, og tí er

\[U = \{\text{hjartar-ess}, \text{hjartar-tvey}, \ldots, \text{kleyvar-kongur}\}\]

Vit skriva ikki øll 52 kortini út, men vit vita, hvat er í mongdini, og vit vita, hvussu nógv tey eru:

\[|U| = 52\]

Legg til merkis, at hvørt kort er við neyvt eina ferð, og at tvey ymisk kort eru tvey ymisk úrslit - hjartar-tvey og spaðar-tvey eru ikki tað sama úrslitið, hóast bæði kortini eru tvíarar.

2. Hendingarnar \(H\)

Næsta stigið er at gera greitt, hvørjar spurningar vit kunnu spyrja. Ein hending er ein partsmongd av \(U\), og tí er hvør samling av kortum ein hending. Nakrar hendingar, sum vit kundu hugsað okkum:

\[A = \text{"kortið er ein tveyari"}, \qquad B = \text{"kortið er hjartar"}, \qquad C = \text{"kortið er eitt myndakort"}\]

Vit hyggja serstakliga at \(A\). Har eru fýra tveyarar - ein í hvørjum kuløri - so

\[A = \{\text{hjartar-tvey}, \text{spaðar-tvey}, \text{rútar-tvey}, \text{kleyvar-tvey}\}\]

og \(A\) hevur fýra úrslit av teimum 52 í \(U\).

3. Líkindafunktiónin \(P\)

Triðja stigið er at siga, hvussu stór sannlíkindi hvørt úrslit fær. Kortið verður drigið tilvildarliga úr væl blandaðum kortum, og tí er eingin orsøk til, at eitt kort skuldi verið sannlíkari enn eitt annað. Vit seta tí

\[P(x) = \frac{1}{52} \qquad \text{fyri hvørt kort } x \text{ í } U\]

Vit kunnu kanna, at hetta er ein lóglig líkindafunktión:

  • Hvørt einstakt sannlíkindi liggur millum 0 og 1, tí \(0 \leq \frac{1}{52} \leq 1\).
  • Summurin av øllum sannlíkindunum er 1, tí \(52 \cdot \frac{1}{52} = 1\), sum sigur, at vit altíð draga eitt kort.

Við hesum er líkindaøkið \((U, H, P)\) fullgjørt. Nú kunnu vit rokna.

4. Sannlíkindi fyri hendingina

Sannlíkindi fyri eina hending er summurin av sannlíkindunum fyri tey úrslit, sum eru í henni:

\[P(A) = \sum_{u \in A} P(u) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} + \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\]

Á sama hátt er

\[P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]

5. Roknireglurnar aftur

Nú tá ið líkindaøkið er sett upp, virka allar reglurnar frá undanfarnu síðunum beinanvegin.

Sannlíkindini fyri, at kortið ikki er ein tveyari:

\[P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}\]

Sannlíkindini fyri, at kortið er ein tveyari og hjartar - tað er bert eitt slíkt kort:

\[P(A \cap B) = \frac{1}{52}\]

Sannlíkindini fyri, at kortið er ein tveyari ella eitt hjarta:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\]

Talið 16 er lætt at kanna: 13 hjørtu og teir tríggir tveyarirnir, sum ikki eru hjørtu.

Samandráttur

Hetta er øll arbeiðsgongdin í líkindarokning, og hon er tann sama, óansæð hvør royndin er:

  1. Set úrslitamongdina \(U\) upp.
  2. Ger greitt, hvørjar hendingar tú hevur áhuga fyri.
  3. Lat hvørt úrslit fáa eitt sannlíkindi, so summurin verður 1.
  4. Rokna sannlíkindini fyri hendingino sum summin av úrslitunum í henni.
  5. Nýt roknireglurnar til at seta hendingar saman.

Í hesum føri høvdu øll úrslit somu sannlíkindi, \(\frac{1}{52}\). Tað er so vanligt, at tað hevur sítt egna navn - symmetriskt líkindaøki - og tað er eisini næsta evnið.