Dømi: Javnbýtt sannlíkindi (Spælikort)

Filmur

Dømi

Vit draga eitt kort tilvildarliga úr einum vanligum kortspæli við 52 kortum.

Kortini eru væl blandað, so einki kort er sannlíkari enn annað. Tí er hetta eitt javnbýtt sannlíkindaøki við

\[n = 52\]

og vit kunnu nýta frymilin

\[P(A) = \frac{k}{n} = \frac{\text{tal av úrslitum í } A}{\text{tal av møguligum úrslitum}}\]

Alt arbeiðið liggur í at finna \(k\) - hvussu nógv kort geva tað úrslitið, sum vit spyrja um. Nevnarin er altíð 52.

Eitt hjarta

Í spælinum eru fýra kulørar við 13 kortum í hvørjum. Tí eru \(k = 13\) hjørtu:

\[P(\text{hjarta}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]

Tað er als ikki óvæntað: ein fjórði-partur av øllum kortunum eru hjørtu, so sannlíkindini er ein fjórði-partur.

Eitt ess

Tað eru fýra ess í spælinum - eitt í hvørjum kuløri:

\[P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\]

Eitt reytt kort

Hjørtu og rútar eru reyð, tilsamans \(13 + 13 = 26\) kort:

\[P(\text{reytt kort}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\]

Helvtin av kortunum er reyð, so sannlíkindini er 50%.

Eitt myndakort

Myndakort eru dreingir, drotningar og kongar - trý í hvørjum kuløri, tilsamans \(3 \cdot 4 = 12\):

\[P(\text{myndakort}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}\]

Reytt ess

Har eru bert tvey reyð ess - hjartar-ess og rútar-ess:

\[P(\text{reytt ess}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}\]

Legg til merkis, hvussu lítið broytist í rokningini. Tað einasta, sum broytist frá einum spurningi til annan, er talið \(k\) í terljarinum. Sjálvur frymilin er hin sami, og nevnarin er hin sami. Tað er styrkin í javnbýtta líkindaøkinum: so leingi vit duga at telja, duga vit at rokna.

Ein spurningur at umhugsa

Hvat hendir, um vit spyrja um tvey kort í staðin fyri eitt - til dømis “hvat er sannlíkindini fyri, at bæði kortini eru hjørtu?”. Tá er hvørt úrslit eitt par av kortum, og úrslitamongdin verður nógv størri enn 52. Frymilin er framvegis hin sami, men sjálv teljingin verður torførari. Tað er júst tað, sum kombinatorikkurin skal hjálpa okkum við seinni.

Royn tað sjálv/ur: drag kort

Trýst á knøttin fyri at draga eitt tilvildarligt kort úr einum vælblandaðum kortspæli (kortið verður lagt aftur eftir tú hevur drigið, og kortini blanda). Talvan niðanfyri fylgir, hvussu tín relativi frekvensur nærkast teimum teoretisku sannlíkindunum, alt eftir hvussu nógv kort tú dregur.

function drawCard() {
  const suits = [["♥", "reytt"], ["♦", "reytt"], ["♠", "svart"], ["♣", "svart"]];
  const ranks = ["A", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "J", "Q", "K"];
  const suit = suits[Math.floor(Math.random() * suits.length)];
  const rank = ranks[Math.floor(Math.random() * ranks.length)];
  return {
    rank, suit: suit[0], litur: suit[1],
    hjarta: suit[0] === "♥",
    ess: rank === "A",
    myndakort: ["J", "Q", "K"].includes(rank)
  };
}

viewof history = Inputs.button("Drag eitt kort", {
  value: [],
  reduce: (h) => [...h, drawCard()]
})

{
  const total = history.length;
  const counts = {
    hjarta: history.filter(c => c.hjarta).length,
    ess: history.filter(c => c.ess).length,
    reytt: history.filter(c => c.litur === "reytt").length,
    myndakort: history.filter(c => c.myndakort).length
  };
  const rows = [
    ["Hjarta", counts.hjarta, 1 / 4],
    ["Ess", counts.ess, 1 / 13],
    ["Reytt kort", counts.reytt, 1 / 2],
    ["Myndakort", counts.myndakort, 3 / 13]
  ];

  const wrap = document.createElement("div");

  const last = total > 0 ? history[total - 1] : null;
  const cardDisplay = document.createElement("div");
  cardDisplay.style.fontSize = "2rem";
  cardDisplay.style.fontWeight = "bold";
  if (last) {
    cardDisplay.style.color = (last.litur === "reytt") ? "#c0392b" : "inherit";
    cardDisplay.textContent = `${last.rank}${last.suit}`;
  } else {
    cardDisplay.style.fontSize = "1rem";
    cardDisplay.style.fontWeight = "normal";
    cardDisplay.textContent = "Trýst á knøttin fyri at draga títt fyrsta kort.";
  }
  wrap.appendChild(cardDisplay);

  const p = document.createElement("p");
  p.textContent = `Tal av drøgum higartil: ${total}`;
  wrap.appendChild(p);

  const table = document.createElement("table");
  table.className = "table table-striped table-sm";
  const thead = document.createElement("thead");
  const hr = document.createElement("tr");
  for (const label of ["Hending", "Tal", "Relativur frekvensur", "Teoretisk sannlíkindi"]) {
    const th = document.createElement("th");
    th.textContent = label;
    hr.appendChild(th);
  }
  thead.appendChild(hr);
  table.appendChild(thead);
  const tbody = document.createElement("tbody");
  for (const [label, count, theo] of rows) {
    const tr = document.createElement("tr");
    const cells = [
      label,
      String(count),
      total > 0 ? (count / total * 100).toFixed(1) + "%" : "-",
      (theo * 100).toFixed(1) + "%"
    ];
    for (const text of cells) {
      const td = document.createElement("td");
      td.textContent = text;
      tr.appendChild(td);
    }
    tbody.appendChild(tr);
  }
  table.appendChild(tbody);
  wrap.appendChild(table);

  return wrap;
}

Drag t.d. 100 kort og legg til merkis, hvussu relativi frekvensin fyri “reytt kort” nærkast \(\frac{1}{2} = 50\%\) - hóast einstøku dragini eru tilvildarlig.