Prosent

Innleiðing

Prosent er eitt av teimum mest brúktu amboðunum í støddfrøði, hagfrøði og serliga innan kapitalrokning. Orðið kemur av latín og merkir “hundraðpartur” - tá ið vit siga, at okkurt er \(p\%\), meina vit, at tað er \(p\) partar av hvørjum 100.

\[ p\% = \frac{p}{100} \]

T.d. er \(25\%\) sama sum \(\frac{25}{100} = 0{,}25\).

Tríggjar grundleggjandi roknisøgur

Tá ið vit arbeiða við prosentum, síggja vit aftur og aftur trý sløg av spurningum. Vit kalla heildina \(x\) og prosenttalið \(p\).

1. Finna prosentpartin av \(x\)

Hvussu nógv er \(p\%\) av \(x\)?

\[ \text{Partur} = x \cdot \frac{p}{100} \]

Dømi - seyðir: Bóndin hevur 200 seyðir. 30% av teimum eru lomb. Hvussu nógv lomb er tað?

\[ 200 \cdot \frac{30}{100} = 60 \text{ lomb} \]

2. Leggja prosent afturat \(x\)

Tá ið ein mongd, \(x\) veksur við \(p\%\), leggur tú prosentpartin afturat heildini:

\[ x_{\text{nýtt}} = x + x \cdot \frac{p}{100} = x\left(1 + \frac{p}{100}\right) \]

Dømi - seyðir: Bóndin keypir 20% fleir seyðir afturat teimum 200 seyðunum. Hvussu nógvir seyðir hevur hann nú?

\[ 200 \cdot \left(1 + \frac{20}{100}\right) = 200 \cdot 1{,}20 = 240 \text{ seyðir} \]

3. Finna hvussu nógv prosent \(s\) er av \(x\)

Hvussu nógv prosent er talið \(s\) av heildini \(x\)?

\[ p\% = \frac{s}{x} \times 100\% \]

Dømi - seyðir: Av 200 seyðum eru 50 svartir. Hvussu nógv prosent er tað?

\[ \frac{50}{200} \times 100\% = 25\% \]

Filmur 1

Endavirði, byrjanarvirði og vakstrartal

Onnur roknisøgan omanfyri - at leggja prosent afturat eini heild - er grundarlagið fyri hvussu vit rokna vøkstur av einum virði yvir tíð.

Vit innføra trý nýggj virðir:

\(B\) - byrjanarvirðið (virðið í byrjanini, t.d. peningarnir tú hevur í dag)
\(S\) - endavirðið (virðið eftir eitt tíðarbil)
\(r\) - vakstrartalið (vøksturin skrivað sum brot, ikki prosent)

Samanhangurin millum hesi virðini er:

\[ S = B(1 + r) \]

Hetta er júst sami frymul sum “leggja prosent afturat \(x\)” - tó nýta vit at \(r = \frac{p}{100}\).

Stundum kenna vit \(B\) og \(S\), men ikki \(r\). Tá umskriva vit frymilin:

\[ r = \frac{S}{B} - 1 \]

Dømi: Bóndin hevur 200 seyðir í byrjanini (\(B = 200\)). Eftir eitt ár er talið av seyðum vaksið til 230 (\(S = 230\)). Vakstrartalið er:

\[ r = \frac{230}{200} - 1 = 1{,}15 - 1 = 0{,}15 \]

Also er talið av seyðum vaksið við \(15\%\).