Treytað Sannlíkindi

Filmur

Innleiðing

Higartil hava vit roknað sannlíkindi út frá tí, sum vit vistu, áðrenn royndin varð gjørd. Men ofta fáa vit eitt sindur av nýggjari vitan á leiðini, og hendan vitanin kann broyta myndina.

Ein spælari dregur eitt kort og fortelur tær: “kortið er reytt”. Hvat eru sannlíkindini fyri, at kortið er eini hjørtu? Áðrenn spælarin segði nakað, var svarið \(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\). Men nú eru bert 26 kort, sum talan er um, og 13 teirra eru hjørtu. Svarið er tí \(\frac{1}{2}\).

Hetta verður kallað treytað sannlíkindi: sannlíkindini fyri hendingini \(A\), givið (ella treytað av) at hendingin \(B\) er komin fyri. Vit skriva tað

\[P(A \mid B)\]

og lesa tað sum “sannlíkindið fyri \(A\), givið \(B\)”.

Frymilin

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Frymilin krevur, at \(P(B) > 0\) - vit kunnu ikki seta sum treyt, at okkurt er hent, sum ongantíð kann henda.

Hugsanin aftanfyri frymilin er henda: tá ið vit vita, at \(B\) er komin fyri, er \(B\) vorðin til okkara nýggju úrslitamongd. Alt uttanfyri \(B\) er dottið burtur. Av teimum úrslitum, sum eru eftir, eru tey, har \(A\) eisini kemur fyri, júst úrslitini í \(A \cap B\). Tí býta vit \(P(A \cap B)\) við \(P(B)\) - vit máta \(A\) upp ímóti \(B\) í staðin fyri ímóti allari úrslitamongdini.

Dømi: spælakort

Vit draga eitt kort úr einum vanligum spælakortstokki. Lat

\[A = \text{"kortið er eitt hjarta"}, \qquad B = \text{"kortið er reytt"}\]

Uttan nakra treyt er

\[P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, \qquad P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\]

Øll hjørtu eru reyð, so felagsmongdin eru hjørtuni sjálv:

\[P(A \cap B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]

Nú setum vit inn í frymilin:

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}\]

Svarið er tað sama, sum vit fingu við at hugsa okkum um: av teimum 26 reyðu kortunum eru 13 hjørtu.

Hin vegin

Legg til merkis, at \(P(A \mid B)\) og \(P(B \mid A)\) ikki eru tað sama. Vita vit, at kortið er eitt hjarta, er tað heilt víst reytt:

\[P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = 1\]

Í undanfarna døminum vóru sannlíkindini \(\frac{1}{2}\), her vóru tey \(1\). Raðfylgjan í \(P(A \mid B)\) hevur tí stóran týdning.

Eitt dømi afturat

Lat

\[C = \text{"kortið er eitt ess"}, \qquad D = \text{"kortið er eitt myndakort"}\]

Eitt ess er ikki eitt myndakort, so \(C \cap D = \emptyset\) og

\[P(C \mid D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = \frac{0}{\frac{3}{13}} = 0\]

Vita vit, at kortið er eitt myndakort, er tað ómøguligt, at tað er eitt ess.

Sambandið við óheftar hendingar

Á seinastu síðuni høvdu vit eina einfalda kanning fyri, um tvær hendingar eru óheftar:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Nú síggja vit, hvaðani hon kemur. Seta vit hetta inn í frymilin fyri treytað sannlíkindi, fáa vit

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)\]

Hendingarnar eru óheftar júst tá, ið kunnleiki um \(B\) ikki broytir sannlíkindini fyri \(A\). Tað var tann óformliga hugsanin, sum vit byrjaðu við - nú er hon eitt úrslit, sum vit kunnu rokna okkum fram til.

Í døminum omanfyri sóu vit, at \(P(A \mid B) = \frac{1}{2}\), meðan \(P(A) = \frac{1}{4}\). Hendingarnar “hjarta” og “reytt kort” eru tí ikki óheftar - og tað er heldur ikki óvæntað, tí øll hjørtu eru reyð.