Innleiðing
Potensfunktiónir avmynda prosentvøkstur. Hetta gera tær soleiðis, at ein fastur prosentvøkstur eftir x-ásanum elvir til ein fastan prosentvøkstur eftir y-ásanum.
Formil
Potensfunktiónir hava forskriftina:
\[ f(x) = b \cdot x^a \]
Prosentvøkstur
Um vit hava \(f(x) = b \cdot x^a\) og \(x\) økist við einum faktor \(k\) (t.e. \(k = 1 + p\), har ið \(p\) er prosentøkingin), so: \[ f(kx) = b\,(kx)^a= k^a\,f(x). \] Tí er lutfalsliga broytingin í f \(k^a − 1\) %. Fyri smáar broytingar vita vit at: \[ (1+p)^b \approx 1 + a\,p, \] so %-vísa broytingin í \(f\) er tætt við \(a\) ferðir prosentbroytingina í x.
Dømi: Um \(a = 3\) og \(x\) økist 10% (\(p = 0.10\)), so vøkstur í \(f\) er \((1.1)^3 − 1 \approx 0.331 = 33.1\)% (sum er tætt við \(3 \cdot 10\% = 30\%\)).
Eginleikar
Tá \(a > 0\): - Funktiónin er altíð positiv
Tá \(a < 0\): - Funktiónin er altíð negativ
Tá \(b > 0\): - Funktiónin er vaksandi
Tá \(b < 0\): - Funktiónin er fallandi
Serligi føri
- \(a = 1\): Linjurøtt funktión
- \(a = 2\): Kvadratisk funktioón
- \(a = \frac{1}{2}\): Kvadratrót
- \(a = -1\): Resiprokk
Finn a og b, dømi
\[ f(x) = 2x^3 \] Her er \(b = 2\) og \(a = 3\). \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2} \] Her er \(b = -\frac{1}{2}\) og \(a = -2\).