Stakroynd við afturlegging

Filmur

Innleiðing

Nú fara vit at brúka faldiregluna til eina heilt ávísa støðu, sum kemur fyri aftur og aftur.

Vit hava \(n\) lutir, og vit skulu velja \(r\) av teimum - ein í senn. Hvørja ferð vit hava valt ein lut, leggja vit hann aftur, so hann kann veljast aftur næstu ferð. Raðfylgjan hevur týdning: velja vit fyrst \(A\) og so \(B\), er tað eitt annað úrslit enn fyrst \(B\) og so \(A\).

Hetta verður kallað stakroynd við afturlegging.

Frymilin

Vit hugsa okkum valini eitt og eitt:

• Fyrsta valið: \(n\) møguleikar.
• Annað valið: lutirnir eru framvegis \(n\), tí tann fyrsti er lagdur aftur. Aftur \(n\) møguleikar.
• Triðja valið: aftur \(n\) møguleikar.
• … og so framvegis, \(r\) ferðir.

Faldireglan sigur, at vit skulu falda møguleikarnar saman:

\[\underbrace{n \cdot n \cdot n \cdots n}_{r \text{ ferðir}} = n^r\]

Talið av møguleikum í stakroyndum við afturlegging, tá ið raðfylgjan hevur týdning, er tí

\[n^r\]

Legg til merkis, at \(r\) kann vera størri enn \(n\). Vit kunnu gott velja tíggju ferðir úr trimum lutum, tí lutirnir verða allir lagdir aftur. Tað er ein av tveimum stóru mununum frá teimum næstu.

Dømi 1: terningakast

Vit kasta einum terningi tríggjar ferðir og skriva úrslitini niður í raðfylgju. Hvørt kast er eitt val úr \(n = 6\) møguleikum, og vit gera \(r = 3\) val:

\[6^3 = 216\]

Hetta er sama tal, sum vit nevndu, tá ið vit tosaðu um trý terningakast - men nú kemur tað úr einum frymli í staðin fyri úr eini talvu.

Legg til merkis, at vit skulu ímynda okkum “afturlegginga” her. Terningurin verður ikki latin aftur - men hann broytist heldur ikki. Møguleikarnir eru teir somu í hvørjum kasti, og tað er tað, sum ger, at frymilin passar.

Dømi 2: ein tal-koda

Ein lás-koda hevur fýra siffur(digits), og í hvørjum siffri kann standa eitt av tølunum \(0\) til \(9\). Sama tal kann standa á fleiri plássum, og raðfylgjan eyðsæð týdning - \(1234\) er ikki tað sama sum \(4321\).

Her er \(n = 10\) og \(r = 4\):

\[10^4 = 10\,000\]

Tað eru tíggju túsund ymsar kodur.

Stutt sagt

\[\text{Stakroynd við afturlegging, tá raðfylgja hevur týdning:} \qquad n^r\]

Á næstu síðu hyggja vit at somu støðu, men uttan at leggja lutirnar aftur.