Líkindafunktión

Filmur

Innleiðing

Á undanfarnu síðuni sóu vit óformliga, hvørji krøv sannlíkindini í einum líkindaøki skulu lúka: hvørt útfall fær eitt tal millum 0 og 1, og øll tølini samanlagt skulu geva 1. Hetta seta vit formliga upp.

Tann reglan, sum letur úrslit og hendingar fáa sannlíkindi, verður kallað ein líkindafunktión og verður skrivað \(P\). Nakað av tí, sum stendur niðanfyri, er tí kent - men her stendur tað sum krøv til \(P\), ikki bert sum ein lýsing.

\(P\) sum ein funktión

Ein funktión tekur okkurt inn, og letur okkurt út. Líkindafunktiónin \(P\) tekur eina hending - ella eitt einstakt úrslit - og letur eitt tal millum 0 og 1 út:

\[P: \; \text{hending} \; \longmapsto \; \text{tal í } [0;1]\]

Tað er alt, sum \(P\) ger. Alt annað, sum vit rokna í líkindarokning, er bygt á hesar fáu reglurnar.

Reglurnar fyri líkindafunktiónina

Fyri eina úrslitamongd \(U = \{u_1, u_2, \ldots, u_n\}\) og eina hending \(A\) (hetta verður neyvari á næstu síðu) galda hesar reglurn:

\[0 \leq P(u_i) \leq 1, \qquad P(U) = 1, \qquad P(\emptyset) = 0, \qquad P(A) = \sum_{u \in A} P(u)\]

1. Sannlíkindi liggja millum 0 og 1

\[0 \leq P(u_i) \leq 1\]

Sannlíkindi kunnu ikki verða negativ, og kunnu ikki verða størri enn 1. Er \(P(u_i) = 0\), merkir hetta, at úrslitið ongantíð kemur fyri; er \(P(u_i) = 1\), kemur tað altíð fyri(heilt víst).

2. Okkurt hendir

\[P(U) = 1\]

Stokastiska royndin gevur altíð eitt úrslit úr \(U\). Hetta er tað sama krav sum

\[p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\]

sum vit sóu á seinastu síðuni - bert skrivað við \(P\) og allari úrslitamongdini.

3. Tóma mongdin

\[P(\emptyset) = 0\]

Tóma mongdin \(\emptyset\) er hendingin, sum einki úrslit hevur í sær. Hon kemur ongantíð fyri, og tí er sannlíkindið fyri hana 0. Vit kalla hana eina ómøguliga hending.

4. Sannlíkindið fyri einari hending

\[P(A) = \sum_{u \in A} P(u)\]

Hendingin \(A\) er ein samling av einstakum úrslitum. Sannlíkindið fyri \(A\) er summurin av sannlíkindunum fyri tey úrslit, sum eru í \(A\). Teknið \(\sum\) merkir “legg saman”, og \(u \in A\) merkir “øll tey úrslit \(u\), sum eru í \(A\)”.

Henda seinasta reglan er tann, sum ger líkindaøkið brúkiligt. Vit skulu bert kenna sannlíkindini fyri hvørt einstakt úrslit - síðan kunnu vit rokna sannlíkindið fyri einhvørjari hending, sum vit kunnu hugsa okkum til.

Dømi

Vit kasta einum rættvísum terningi, soleiðis at hvørt úrslit hevur sannlíkindið \(\frac{1}{6}\). Hyggja vit at hendingini

\[A = \{2, 4, 6\}\]

er sannlíkindini fyri hana

\[P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Vit hava einki nýtt gjørt her - vit hava bert nýtt regluna \(P(A) = \sum_{u \in A} P(u)\) fyri eini hending við trimum serstøkum úrslitum.