Óheftar Hendingar

Filmur

Innleiðing

Á undanfarnu síðuni sóu vit óformliga, hvat tað merkir, at tvær hendingar ikki ávirka hvørja aðra: terningurin minnist ikki, hvat hann vísti í fyrsta kasti. Men “at ávirka hvør aðra” er ikki eitt støddfrøðiligt hugtak - vit hava brúk fyri einum krav, sum vit kunnu kanna við tølum.

Tað kravið er hetta.

Definitión

Tvær hendingar \(A\) og \(B\) eru óheftar, tá ið

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Við øðrum orðum: sannlíkindið fyri, at báðar hendingarnar koma fyri í senn, er tað sama sum sannlíkindini fyri hvørja teirra fyri seg, falda saman.

Hetta er ikki ein regla, sum vit kunnu brúka á allar hendingar. Tað er ein kanning. Rokna vit báðar síðurnar og fáa tað sama, eru hendingarnar óheftar; fáa vit ikki tað sama, eru tær heftar hvør av aðrari. Tá ið vit vita, at tvær hendingar eru óheftar - til dømis tí, at tær koma frá tveimum ymiskum kastum - kunnu vit ganga hina vegin og nýta frymilin til at rokna \(P(A \cap B)\).

Dømi 1: tvey terningakast - óheftar hendingar

Vit kasta einum terningi tvær ferðir og hyggja at hesum tveimum hendingum:

\[A = \text{"fyrsta kastið gevur ein seksara"}, \qquad B = \text{"annað kastið gevur eitt makað tal"}\]

Hvørt kast fyri seg gevur

\[P(A) = \frac{1}{6}, \qquad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Úrslitamongdin fyri bæði kastini hevur \(6 \cdot 6 = 36\) úrslit, sum øll eru eins sannlík. Hvussu nógv av teimum hava ein seksara í fyrsta kasti og eitt makað tal í øðrum? Fyrsta talið er fast - tað skal vera 6 - og annað talið kann vera \(2, 4\) ella \(6\). Tað eru trý úrslit:

\[P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\]

Vit kanna nú kravið:

\[P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\]

Báðar síðurnar geva \(\frac{1}{12}\), og hendingarnar eru tí óheftar. Tað svarar til tað, sum vit væntaðu: fyrsta kastið sigur einki um annað kastið.

Dømi 2: tvey kort uttan afturlegging - heftar hendingar

Vit draga tvey kort úr einum kortspæli og leggja ikki fyrra kortið aftur í bunkan. Hendingarnar eru

\[A = \text{"fyrra kortið er eitt ess"}, \qquad B = \text{"seinna kortið er eitt ess"}\]

Áðrenn vit draga, er

\[P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, \qquad P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\]

Sannlíkindini fyri \(B\) er \(\frac{1}{13}\), tá ið vit einki vita um fyrra kortið - hvørt av teimum 52 kortunum eru eins sannlíkt at koma sum tað seinna.

Men hvat er \(P(A \cap B)\) - sannlíkindini fyri, at bæði kortini eru ess? Er fyrra kortið eitt ess, eru bert 51 kort eftir í bunkanum, og bert 3 av teimum eru ess. Tí er

\[P(A \cap B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}\]

Vit kanna kravið:

\[P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{169}\]

Her er

\[\frac{1}{221} \neq \frac{1}{169}\]

so hendingarnar eru ikki óheftar. Hetta er heldur ikki óvæntað: tá ið vit taka eitt ess úr bunkanum, eru færri ess eftir, og tí verður tað torførari at fáa eitt ess seinnu ferð vit draga. Fyrra hendingin ávirkar ta seinnu.

Legg til merkis, hvat munurin á dømunum er. Í fyrra døminum var støðan fyri annað kastið hin sama, hvat so fyrsta kastið gav; í seinna døminum broyttist hon, tí kortið varð ikki lagt aftur í bunkan.

At nýta frymilin hina vegin

Tá ið vit vita frammanundan, at tvær hendingar eru óheftar, sleppa vit undan at seta alla úrslitamongdina upp. Tá er tað nokk at falda:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Kasta vit til dømis einum terningi tríggjar ferðir, er sannlíkindini fyri trimum seksarum

\[\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216}\]

uttan at vit nakrantíð skrivaðu tey 216 úrslitini upp.

Viðmerking

Hesin frymilin er ein einfaldur og fullgóður máti at kanna um tvær hendingar eru óheftar. Fyri tann, sum longu kennir treytað sannlíkindi, kann tað sigast á ein annan hátt: \(A\) og \(B\) eru óheftar, tá ið

\[P(A \mid B) = P(A)\]

Tað er, at vitan um \(B\) ikki broytir sannlíkindini fyri \(A\). Hetta er bert ein viðmerking - tú hevur ikki brúk fyri treytaðum sannlíkindum fyri at nýta definitiónina omanfyri. Treytað sannlíkindi er evnið á næstu síðu.