Annuitetsuppsparing prógv
Byrjan
Vit leggja sama gjald \(y\) inn hvønn termin í \(n\) terminir, og rentan er \(r\) um terminin. Vit vilja vísa, at samlaði kapitalurin til endans er
\[ A = y \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}. \]
Kapitalurin eftir hvønn termin
Hugsa um gjøldini sum kassar, ið vaksa við faktorinum \((1+r)\) fyri hvønn termin, eftir at teir eru lagdir inn. Lat \(t_m\) vera kapitalurin beint eftir, at gjald nummar \(m\) er lagt inn:
\[ \begin{aligned} t_1 &= y, \\ t_2 &= y(1+r) + y, \\ t_3 &= y(1+r)^2 + y(1+r) + y, \\ &\;\;\vdots \\ t_n &= y(1+r)^{n-1} + y(1+r)^{n-2} + \dots + y(1+r) + y. \end{aligned} \]
Síðsta gjaldið (\(y\)) er júst lagt inn og hevur enn ikki vaksið, meðan tað fyrsta hevur forrentað í \(n-1\) terminar. Samlaði kapitalurin er \(A = t_n\).
Ein geometrisk røð
\(t_n\) er ein geometrisk røð. Fyri at leggja hana saman, ganga vit alt uppá \((1+r)\):
\[ A(1+r) = y(1+r)^n + y(1+r)^{n-1} + \dots + y(1+r). \]
Leggja vit \(y - y\) afturat høgrumegin (sum ikki broytir nakað), kunnu vit kenna \(t_n\) aftur høgrumegin:
\[ A(1+r) = y(1+r)^n + \underbrace{y(1+r)^{n-1} + \dots + y(1+r) + y}_{=\,A} - y = y(1+r)^n + A - y. \]
Loysn
Nú stytta vit \(A\) burtur av báðum síðum og loysa fyri \(A\):
\[ \begin{aligned} A(1+r) - A &= y(1+r)^n - y \\ A \cdot r &= y\left((1+r)^n - 1\right) \\ A &= y \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}. \end{aligned} \]
Tað var júst tað, vit skuldu vísa. \(\blacksquare\)